హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ అంటే ఏమిటి: బ్లాక్ రేఖాచిత్రం మరియు దాని రకాలు

సరళమైన హార్మోనిక్ మోషన్‌ను ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు బారన్ జీన్ బాప్టిస్ట్ జోసెఫ్ ఫోరియర్ 1822 లో కనుగొన్నారు. ఎడ్విన్ ఆర్మ్‌స్ట్రాంగ్ (18 వ డిఇసి 1890 నుండి 1 వ ఎఫ్‌ఇబి 1954) 1992 లో వారి ప్రయోగాలలో డోలనాలను గమనించారు మరియు అలెగ్జాండర్ మీస్నర్ (14 వ SEP 1883 నుండి 3 వ జనవరి 1958 వరకు) కనుగొన్నారు ఓసిలేటర్లు మార్చి 1993 లో. హార్మోనిక్ అనే పదం లాటిన్ పదం. ఈ వ్యాసం దాని నిర్వచనం, రకం మరియు దాని అనువర్తనాలను కలిగి ఉన్న హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ యొక్క అవలోకనాన్ని చర్చిస్తుంది.

హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ అంటే ఏమిటి?

హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ ఒక కదలికగా నిర్వచించబడింది, దీనిలో శక్తి సమతౌల్య స్థానం నుండి కణానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది మరియు ఇది సైనూసోయిడల్ తరంగ రూపంలో ఉత్పత్తిని ఉత్పత్తి చేస్తుంది. హార్మోనిక్‌కు కారణమయ్యే శక్తి కదలిక గణితశాస్త్రంగా వ్యక్తీకరించవచ్చు

F = -Kx

ఎక్కడ,

F = శక్తిని పునరుద్ధరించడం

K = వసంత స్థిరాంకం

X = సమతుల్యత నుండి దూరం

బ్లాక్-రేఖాచిత్రం-ఆఫ్-హార్మోనిక్-ఓసిలేటర్

హార్మోనిక్ కదలికలో ఒక పాయింట్ ఉంది, దీనిలో వ్యవస్థ డోలనం చెందుతుంది మరియు ద్రవ్యరాశిని మళ్లీ మళ్లీ ప్రారంభించే చోట నుండి అదే సమయంలో తీసుకువస్తుంది, శక్తిని పునరుద్ధరణ శక్తి అని పిలుస్తారు మరియు పాయింట్‌ను సమతౌల్య బిందువు లేదా సగటు స్థానం అంటారు. ఈ ఓసిలేటర్‌ను a అని కూడా అంటారు లీనియర్ హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ . శక్తి క్రియాశీల నుండి ప్రవహిస్తుంది భాగాలు ఓసిలేటర్‌లోని నిష్క్రియాత్మక భాగాలకు.

బ్లాక్ రేఖాచిత్రం

ది హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ యొక్క బ్లాక్ రేఖాచిత్రం కలిగి ఉన్నది ఒక యాంప్లిఫైయర్ మరియు చూడు నెట్‌వర్క్. సంకేతాలను విస్తరించడానికి యాంప్లిఫైయర్ ఉపయోగించబడుతుంది మరియు ఆంప్లిఫైడ్ సిగ్నల్స్ చూడు నెట్‌వర్క్ ద్వారా పంపబడతాయి మరియు అవుట్‌పుట్‌ను ఉత్పత్తి చేస్తాయి. Vi అనేది ఇన్పుట్ వోల్టేజ్, Vo అనేది అవుట్పుట్ వోల్టేజ్ మరియు Vf అనేది చూడు వోల్టేజ్.

ఉదాహరణ

మాస్ ఆన్ ఎ స్ప్రింగ్: వసంత ద్రవ్యరాశిని వేగవంతం చేసే పునరుద్ధరణ శక్తిని అందిస్తుంది మరియు పునరుద్ధరణ శక్తి ఇలా వ్యక్తీకరించబడుతుంది

ఎఫ్ = మా

ఇక్కడ ‘m’ ద్రవ్యరాశి మరియు a అనేది త్వరణం.

మాస్-ఆన్-ఎ-స్ప్రింగ్

వసంతంలో ద్రవ్యరాశి (m) మరియు శక్తి (F) ఉంటాయి. శక్తి x = 0 పాయింట్ వద్ద ద్రవ్యరాశిని లాగినప్పుడు మరియు ద్రవ్యరాశి యొక్క x - స్థానం మీద మాత్రమే ఆధారపడి ఉంటుంది మరియు వసంత స్థిరాంకం k అక్షరంతో సూచించబడుతుంది.

హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ రకాలు

ఈ ఓసిలేటర్ రకాలు ప్రధానంగా కింది వాటిని కలిగి ఉంటాయి.

బలవంతంగా హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్

మేము వ్యవస్థ యొక్క కదలికకు బాహ్య శక్తిని ప్రయోగించినప్పుడు, అప్పుడు కదలిక బలవంతపు హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ అని చెప్పబడుతుంది.

తడిసిన హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్

ఈ ఓసిలేటర్ నిర్వచించబడింది, మేము వ్యవస్థకు బాహ్య శక్తిని ప్రయోగించినప్పుడు, ఓసిలేటర్ యొక్క కదలిక తగ్గుతుంది మరియు దాని కదలిక తడిసిన హార్మోనిక్ మోషన్ అని అంటారు. తడిసిన హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్లు మూడు రకాలు

డంపింగ్-తరంగ రూపాలు

ఓవర్ తడిసిన

వ్యవస్థ నెమ్మదిగా సమతౌల్య బిందువు వైపు కదులుతున్నప్పుడు అది ఓవర్‌డ్యాంప్డ్ హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ అని అంటారు.

కింద తడిసిన

వ్యవస్థ సమతౌల్య బిందువు వైపు వేగంగా కదులుతున్నప్పుడు అది ఓవర్‌డ్యాంప్డ్ హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ అని అంటారు.

క్రిటికల్ తడిసిన

సమతౌల్య బిందువు గురించి డోలనం చేయకుండా వ్యవస్థ సాధ్యమైనంత త్వరగా కదిలినప్పుడు అది ఓవర్‌డ్యాంప్డ్ హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ అని అంటారు.

క్వాంటం

దీనిని 'యూనివర్శిటీ ఆఫ్ గొట్టింగెన్' లో మాక్స్ బోర్న్, వెర్నర్ హైసెన్‌బర్గ్ మరియు వోల్ఫ్‌గ్యాంగ్ పౌలి కనుగొన్నారు. క్వాంటం అనే పదం లాటిన్ పదం మరియు క్వాంటం యొక్క అర్థం తక్కువ శక్తి.

జీరో పాయింట్ ఎనర్జీ

జీరో-పాయింట్ ఎనర్జీని గ్రౌండ్ స్టేట్ ఎనర్జీ అని కూడా అంటారు. గ్రౌండ్ స్టేట్ ఎనర్జీ ఎల్లప్పుడూ సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉన్నప్పుడు ఇది నిర్వచించబడుతుంది మరియు ఈ భావనను జర్మనీలోని మాక్స్ ప్లాంక్ కనుగొన్నారు మరియు 1990 లో అభివృద్ధి చేసిన ఫార్ములా.

తడిసిన సాధారణ హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ సమీకరణం యొక్క సగటు శక్తి

అవి రెండు రకాలైన శక్తులు, అవి గతి శక్తి మరియు సంభావ్య శక్తి. గతి శక్తి మరియు సంభావ్య శక్తి మొత్తం మొత్తం శక్తికి సమానం.

ఇ = కె + యు ………………. Eq (1)

ఇక్కడ E = మొత్తం శక్తి

K = గతి శక్తి

U = సంభావ్య శక్తి

ఇక్కడ k = k = 1/2 mv^{రెండు}………… eq (2)

U = 1/2 kx^{రెండు}………… eq (3)

oscillation-cycle- for- సగటు- విలువలు

డోలనం చక్రానికి గతి మరియు సంభావ్య శక్తి యొక్క సగటు విలువలు సమానం

ఎక్కడ v^{రెండు}= వి^{రెండు}(TO^{రెండు}-x^{రెండు}) ……. eq (4)

Eq (4) ను eq (2) మరియు eq (3) లో ప్రత్యామ్నాయం పొందుతారు

k = 1/2 మీ [w^{రెండు}(TO^{రెండు}-x^{రెండు})]

= 1/2 మీ [ఆవ్ కాస్ (wt +₀)]^{రెండు}……. eq (5)

U = 1/2 kx^{రెండు}

= 1/2 క [ఒక పాపం (wt +₀)]^{రెండు}……. eq (6)

Eq (1) లోని ప్రత్యామ్నాయం eq (5) మరియు eq (6) మొత్తం శక్తి విలువను పొందుతాయి

E = 1/2 m [w^{రెండు}(TO^{రెండు}-x^{రెండు})] + 1/2 kx^{రెండు}

= 1/2 మీ w^{రెండు}-1/2 మీ w^{రెండు}TO^{రెండు}+ 1/2 కి.ఎక్స్^{రెండు}

= 1/2 మీ w^{రెండు}TO^{రెండు}+1/2 x^{రెండు}(K-mw^{రెండు}) ……. eq (7)

ఎక్కడ mw^{రెండు}= కె , ఈ విలువను eq (7) లో ప్రత్యామ్నాయం చేయండి

E = 1/2 K A.^{రెండు}- 1/2 కి.కె.^{రెండు}+ 1/2 x^{రెండు}= 1/2 K A.^{రెండు}

మొత్తం శక్తి (ఇ) = 1/2 కె ఎ^{రెండు}

ఒక కాలానికి సగటు శక్తులు ఇలా వ్యక్తీకరించబడతాయి

TO_సగటు= యు_సగటు= 1/2 (1/2 K A.^{రెండు})

హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ వేవ్ ఫంక్షన్

హామిల్టోనియన్ ఆపరేటర్ గతి శక్తి మరియు సంభావ్య శక్తి యొక్క మొత్తంగా వ్యక్తీకరించబడింది మరియు ఇది ఇలా వ్యక్తీకరించబడింది

(Q) = T + V ……………… .eq (1)

ఎక్కడ ђ = హామిటోనియన్ ఆపరేటర్

టి = గతి శక్తి

V = సంభావ్య శక్తి

వేవ్ ఫంక్షన్‌ను రూపొందించడానికి, మనం ష్రోడింగర్ సమీకరణాన్ని తెలుసుకోవాలి మరియు సమీకరణం ఇలా వ్యక్తీకరించబడుతుంది

-^{రెండు}/ 2μ * డి^{రెండు}ѱ_υ(Q) / dQ^{రెండు}+ 1 / 2KQ^{రెండు}ѱ_υ(ప్ర) = ఇ_υѱ_υ(ప్ర) …………. eq (2)

ఇక్కడ Q = సాధారణ కోఆర్డినేట్ యొక్క పొడవు

= ప్రభావవంతమైన ద్రవ్యరాశి

K = ఫోర్స్ స్థిరాంకం

ష్రోడింగర్ సమీకరణ సరిహద్దు పరిస్థితులు:

(-∞) =

(+ ∞) = 0

మనం eq (2) గా కూడా వ్రాయవచ్చు

d^{రెండు}ѱ_υ(Q) / dQ^{రెండు}+ 2μ /^{రెండు}(ఇ_υ-కె / 2 * ప్ర^{రెండు})_υ(Q) = 0 ………… eq (3)

ఒక సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి ఉపయోగించే పారామితులు

β = ђ / kμk ……… .. eq (4)

d^{రెండు}/ dQ^{రెండు}= 1 / β^{రెండు}d^{రెండు}/ dx^{రెండు}………… .. eq (5)

Eq (3) లో eq (4) మరియు eq (5) ను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి, అప్పుడు ఈ ఓసిలేటర్ యొక్క అవకలన సమీకరణం అవుతుంది

d^{రెండు}ѱ_υ(Q) / dx^{రెండు}+ (2μ బి^{రెండు}ఇ_υ/^{రెండు}- x^{రెండు})_υ(x) = 0 ……… .. eq (6)

శక్తి శ్రేణి యొక్క సాధారణ వ్యక్తీకరణ

ΣC¬nx2 …………. eq (7)

ఒక ఘాతాంక ఫంక్షన్ ఇలా వ్యక్తీకరించబడింది

exp (-x^{రెండు}/ 2) ………… eq (8)

eq (7) eq (8) తో గుణించబడుతుంది

(x) = ΣC¬nx2exp (-x2 / 2) …………… ..eq (9)

దిగువ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి హెర్మైట్ బహుపదాలను పొందవచ్చు

ђ_υ(x) = (-1)^υ* exp (x^{రెండు}) d / dx^υ* exp (-x^{రెండు}) …………… .. eq (10)

సాధారణీకరణ స్థిరాంకం ఇలా వ్యక్తీకరించబడింది

ఎన్_υ= (1/2^υ!)^1/2…………… .ఎక్ (11)

ది సాధారణ హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ పరిష్కారం గా వ్యక్తీకరించబడింది

Ѱ_υ(x) = N._υహెచ్_υ(మరియు) ఇ^{-x2 / 2}……………… eq (12)

ఎక్కడ ఎన్_υసాధారణీకరణ స్థిరాంకం

హెచ్ _υ హెర్మైట్

ఉంది ^{-x2 / రెండు}గాస్సియన్

సమీకరణం (12) అనేది హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ యొక్క వేవ్ ఫంక్షన్.

ఈ పట్టిక అత్యల్ప శక్తి రాష్ట్రాలకు మొదటి పదం హెర్మైట్ బహుపదాలను చూపిస్తుంది

యొక్క వేవ్ విధులు సాధారణ హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ గ్రాఫ్ నాలుగు అత్యల్ప శక్తి స్థితులు క్రింది గణాంకాలలో చూపించబడ్డాయి.

వేవ్-ఫంక్షన్స్-ఆఫ్-హార్మోనిక్-ఓసిలేటర్

నాలుగు అత్యల్ప శక్తి స్థితుల కోసం ఈ ఓసిలేటర్ యొక్క సంభావ్యత సాంద్రతలు క్రింది గణాంకాలలో చూపించబడ్డాయి.

తరంగ రూపాల సంభావ్యత-సాంద్రతలు

అప్లికేషన్స్

లుimple హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్అనువర్తనాలు ప్రధానంగా కింది వాటిని కలిగి ఉంటాయి

• ఆడియో మరియు వీడియో వ్యవస్థలు
• రేడియో మరియు ఇతర కమ్యూనికేషన్ పరికరాలు
• ఇన్వర్టర్లు , అలారాలు
• బజర్స్
• అలంకార లైట్లు

ప్రయోజనాలు

ది హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ యొక్క ప్రయోజనాలు ఉన్నాయి

• చౌక
• అధిక-పౌన frequency పున్య తరం
• అధిక సామర్థ్యం
• చౌక
• పోర్టబుల్
• ఆర్థిక

ఉదాహరణలు

ఈ ఓసిలేటర్ యొక్క ఉదాహరణ కింది వాటిని కలిగి ఉంటుంది.

• సంగీత వాయిద్యాలు
• సాధారణ లోలకం
• మాస్ వసంత వ్యవస్థ
• స్వింగ్
• గడియారం చేతుల కదలిక
• కారు, లారీ, బస్సులు మొదలైన చక్రాల కదలిక

ఇది ఒక రకమైన కదలిక, మన రోజువారీ స్థావరాలపై గమనించవచ్చు. హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ ష్రోడింగర్ ఉపయోగించి వేవ్ ఫంక్షన్ మరియు హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ యొక్క సమీకరణాలు ఉత్పన్నమవుతాయి. ఇక్కడ ఒక ప్రశ్న ఉంది, బంగీ జంపింగ్ చేత ఏ రకమైన కదలిక?