మన రోజువారీ జీవితంలో, కారు యొక్క లీనియర్ మోషన్, స్ట్రింగ్ యొక్క వైబ్రేటరీ మోషన్, గడియారం యొక్క వృత్తాకార కదలిక మొదలైన వివిధ రకాల కదలికలను మేము గమనిస్తాము… అత్యంత ఆసక్తికరమైన మరియు అవసరమైన కదలికలలో ఒకటి ఆవర్తన కదలిక. ప్రతి సమయం విరామం తర్వాత ఒక శరీరం దాని మార్గాన్ని పునరావృతం చేసినప్పుడు ఆవర్తన కదలికలో కదులుతుందని చెబుతారు. ఆవర్తన కదలికకు ఉదాహరణ గడియారపు చేతుల కదలిక, భూమి యొక్క భ్రమణం, లోలకం యొక్క కదలిక మొదలైనవి. ఈ ఆవర్తన కదలిక స్థిర సూచన బిందువు గురించి ఉన్నప్పుడు దానిని ఓసిలేటరీ మోషన్ అంటారు. సింపుల్ హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ ఓసిలేటరీ మోషన్ యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం.
సింపుల్ హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ అంటే ఏమిటి?
సాధారణ హార్మోనిక్ కదలికను చేసే ఓసిలేటర్‌ను సింపుల్ హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ అంటారు. స్థిరమైన సగటు బిందువు వైపు కణాల ఆవర్తన మరియు కదలికను ఓసిలేటరీ మోషన్ అంటారు. ఇది F = -kx సూత్రం ద్వారా సూచించబడుతుందిn, ఇక్కడ n అనేది బేసి సంఖ్య, ఇది డోలనాల సంఖ్యను సూచిస్తుంది. N = 1 యొక్క విలువ ఉన్నప్పుడు, ఓసిలేటరీ కదలికను సాధారణ హార్మోనిక్ మోషన్ అంటారు.
సింపుల్ హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ అడ్డంగా ఉంచిన వసంతాన్ని కలిగి ఉంటుంది, దీని చివర ఒక స్థిర బిందువుతో జతచేయబడుతుంది మరియు మరొక చివర ద్రవ్యరాశి m యొక్క కదిలే వస్తువుతో జతచేయబడుతుంది. సమతుల్యతలో ఉన్నప్పుడు ద్రవ్యరాశి యొక్క స్థానాన్ని సగటు స్థానం అంటారు. ద్రవ్యరాశి వసంత అక్షానికి సమాంతరంగా లాగినప్పుడు, అది సగటు స్థానం గురించి కదలకుండా మొదలవుతుంది. స్థానభ్రంశం యొక్క దిశకు విరుద్ధంగా ఒక పునరుద్ధరణ శక్తి, ద్రవ్యరాశిపై సగటు స్థానం వైపు లాగడం ద్వారా పనిచేస్తుంది. ఈ పరికరాన్ని ఇప్పుడు సాధారణ హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ అంటారు.
ఎస్హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్సమీకరణం
సరళమైన హార్మోనిక్ కదలికలో, పునరుద్ధరణ శక్తి ద్రవ్యరాశి యొక్క స్థానభ్రంశానికి నేరుగా అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది మరియు స్థానభ్రంశం దిశకు వ్యతిరేక దిశలో పనిచేస్తుంది, కణాలను సగటు స్థానం వైపుకు లాగుతుంది.
న్యూటన్ చట్టం ప్రకారం, ద్రవ్యరాశి m పై పనిచేసే శక్తి F = -kx చే ఇవ్వబడుతుందిn. ఇక్కడ, k అనేది స్థిరాంకం మరియు x సగటు స్థానం నుండి వస్తువు యొక్క స్థానభ్రంశాన్ని సూచిస్తుంది. స్థానభ్రంశం సగటు స్థానం గురించి ద్రవ్యరాశి యొక్క త్వరణానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది. సాధారణ హార్మోనిక్ కదలికలో, n = 1 విలువ.
త్వరణం స్థానభ్రంశానికి అనులోమానుపాతంలో ఉన్నందున, a = డిరెండుx / dt రెండు. న్యూటన్ యొక్క సమీకరణంలో విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి.
ఈ విధంగా, ఎఫ్ = మా , F = -kx.
అందువలన, -kx = ma —- (1)
-kx = m (డిరెండుx / dtరెండు)
క్రమాన్ని మార్చడం ద్వారా, -kx / m = (డిరెండుx / dtరెండు) .-- (రెండు)
రెండవ ఉత్పన్నం ప్రతికూల సంకేతంతో ఉన్న ఫంక్షన్ అవుతుంది సాధారణ హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ పరిష్కారం పై సమీకరణం కోసం. సైన్ మరియు కొసైన్ విధులు ఈ అవసరాన్ని తీర్చాయి.
f (x) = పాపం x, (డిరెండుx / dtరెండు) (f (x)) = -సిన్ x
f (x) = cos x, (dరెండుx / dtరెండు) (f (x)) = -కోస్ x
సరళత కోసం పాపం () ఎంచుకోబడుతుంది. దశ కోణం సగటు పాయింట్ నుండి ద్రవ్యరాశి యొక్క స్థానభ్రంశం స్థానాలను వివరిస్తుంది. సగటు స్థానం వద్ద, Φ = 0. ద్రవ్యరాశి ముందుకు దిశలో కదిలి గరిష్ట బిందువుకు చేరుకున్నప్పుడు, Φ = π / 2. గరిష్ట ఫార్వర్డ్ స్థానం తర్వాత ద్రవ్యరాశి సగటు కదలికకు తిరిగి వచ్చినప్పుడు, Φ =. ద్రవ్యరాశి వెనుకబడిన స్థితిలో కదిలి గరిష్ట బిందువుకు చేరుకున్నప్పుడు, Φ = 3π / 2 మరియు ఇప్పుడు అది సగటు స్థానానికి మారినప్పుడు, Φ = 2π.
ఒక పూర్తి మరియు అంతకుముందు చక్రం పూర్తి చేయడానికి ద్రవ్యరాశి తీసుకున్నది T చేత సూచించబడిన కాలం అంటారు. యూనిట్ సమయానికి సంభవించే అటువంటి డోలనాన్ని సంఖ్యను డోలనం యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ అంటారు, f. ఒక వస్తువు యొక్క ఎక్స్‌ట్రీమ్ స్థానాలను సూచిస్తుంది మరియు దీనిని వ్యాప్తి అని కూడా పిలుస్తారు. అందువల్ల, సాధారణ హార్మోనిక్ కదలిక యొక్క స్థానభ్రంశం ఒక బీజగణిత సైనూసోయిడల్ ఫంక్షన్
x = ఒక పాపం ωt —- (3)
ఇక్కడ ω అనేది కోణీయ పౌన frequency పున్యం Φ / t గా తీసుకోబడింది. Eqn (2) నుండి
-kx / m = (డిరెండుx / dtరెండు). = 2πf, T = 1 / f
x = A పాపం (2πft + Φ), ప్రత్యామ్నాయం (2)
-k (ఒక పాపం (2πft + Φ) / m = -4πరెండుfరెండుఅసిన్ (2πft +)
పరిష్కరించడం ద్వారా, f = (1 / 2π) √ (k / m)
= √ (క / మీ)
ఈ విధంగా, x = Asin√ (k / m) t అనేది సాధారణ హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ యొక్క సమీకరణం.
సింపుల్ హార్మోనిక్ మోషన్ గ్రాఫ్స్
సరళమైన హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్‌లో, వసంత on తువుపై పనిచేసే శక్తిని పునరుద్ధరించడం ఎల్లప్పుడూ ద్రవ్యరాశి యొక్క స్థానభ్రంశానికి వ్యతిరేక దిశలో ఉంటుంది. ద్రవ్యరాశి సానుకూల ఎక్స్‌ట్రీమ్ స్థానం + A వైపు కదులుతున్నప్పుడు, త్వరణం మరియు శక్తి ప్రతికూలంగా ఉంటాయి మరియు గరిష్టంగా ఉంటాయి. + A స్థానం నుండి వస్తువు సగటు స్థానం వైపు కదులుతున్నప్పుడు, వేగం పెరుగుతుంది, అయితే సగటు స్థానం వద్ద త్వరణం సున్నా అవుతుంది.
సింపుల్-హార్మోనిక్-మోషన్.
సాధారణ హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ యొక్క వేగం మరియు వేగం పై నుండి పొందవచ్చు సాధారణ హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ తరంగ రూపం . వస్తువు యొక్క స్థానభ్రంశం x = Asinωt = Asin√ (k / m) t చే ఇవ్వబడుతుంది. వేగం V = ωA cos ast గా ఇవ్వబడుతుంది. త్వరణం = -ω గా ఇవ్వబడుతుందిరెండుx. వ్యవధి T = 1 / f గా ఇవ్వబడుతుంది, ఇక్కడ f అనేది ω / 2π గా ఇవ్వబడిన పౌన frequency పున్యం, ఇక్కడ ω = √ (k / m).
సగటు స్థానంలో ద్రవ్యరాశిపై పనిచేసే శక్తి 0 మరియు దాని త్వరణం కూడా 0. సాధారణ హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్‌లో, త్వరణం స్థానభ్రంశానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది. శక్తి యొక్క సంకేతం సగటు స్థానం నుండి వస్తువు యొక్క స్థానభ్రంశం దిశపై ఆధారపడి ఉంటుంది.
సాధారణ హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ అనువర్తనాలు
సింపుల్ హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ ఒక వసంత ద్రవ్యరాశి వ్యవస్థ. ఇది గడియారాలలో ఓసిలేటర్‌గా, గిటార్, వయోలిన్‌లో వర్తించబడుతుంది. ఇది కార్-షాక్ అబ్జార్బర్‌లో కూడా కనిపిస్తుంది, ఇక్కడ సున్నితమైన ప్రయాణాన్ని నిర్ధారించడానికి కారు చక్రానికి స్ప్రింగ్‌లు జతచేయబడతాయి. మెట్రోనొమ్ అనేది ఒక సాధారణ హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్, ఇది నిరంతర పేలులను ఉత్పత్తి చేస్తుంది, ఇది సంగీతకారుడికి స్థిరమైన వేగంతో ఒక భాగాన్ని ప్లే చేయడానికి సహాయపడుతుంది.
సాధారణ హార్మోనిక్ మోషన్ ఆవర్తన కదలిక యొక్క ఓసిలేటరీ మోషన్ వర్గంలోకి వస్తుంది. అన్ని ఓసిలేటరీ కదలికలు ఆవర్తన ప్రకృతిలో ఉంటాయి కాని అన్ని ఆవర్తన కదలికలు డోలనం కావు. సాధారణ హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్‌లో పునరుద్ధరించే శక్తి కట్టుబడి ఉంటుంది హుక్ యొక్క చట్టం.
సాధారణ హార్మోనిక్ కదలిక పునరుద్ధరణ శక్తి యొక్క దృ ff త్వం మరియు వస్తువు యొక్క ద్రవ్యరాశిపై ఆధారపడి ఉంటుంది. పెద్ద ద్రవ్యరాశి కలిగిన సాధారణ హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ తక్కువ పౌన .పున్యంతో డోలనం చేస్తుంది. ది ఓసిలేటర్ అధిక పునరుద్ధరణ శక్తి అధిక పౌన .పున్యంతో డోలనం చేస్తుంది. సాధారణ హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ యొక్క స్థానభ్రంశం, వేగం, వ్యాప్తి మరియు శక్తి పారామితులు ఎల్లప్పుడూ వసంత సగటు స్థానం నుండి లెక్కించబడతాయి. డోలనాల యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ మరియు కాలం వ్యాప్తి ద్వారా ప్రభావితం కావు. వసంతకాలం దాని సగటు స్థితిలో ఉన్నప్పుడు వస్తువు యొక్క వేగం మరియు త్వరణం ఏమిటి?
