లాప్లేస్ ట్రాన్స్ఫార్మ్ అంటే ఏమిటి? ఫార్ములా, గుణాలు, షరతులు మరియు అనువర్తనాలు

గణితం ప్రవర్తన మరియు పనిని అర్థం చేసుకోవడానికి నిర్ణయాత్మక పాత్ర పోషిస్తుంది విద్యుత్ మరియు ఎలక్ట్రానిక్ సిస్టమ్స్ . బహుపదాలు, బీజగణితం, సంభావ్యత, అనుసంధానం మరియు భేదాలు మొదలైనవి… వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి ఉపయోగించే సాధనాల్లో ముఖ్యమైన భాగం. వ్యవస్థల పెరుగుతున్న సంక్లిష్టతతో, చాలా అధునాతన పద్ధతులు అవసరం. నియంత్రణ వ్యవస్థలను నిర్వచించడానికి అవకలన సమీకరణాలు ప్రముఖంగా ఉపయోగించబడతాయి. ఈ సమీకరణాలు పరిష్కరించడానికి చాలా సులభం. అధిక ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు సంక్లిష్టత తలెత్తుతుంది. అటువంటి సంక్లిష్ట ఉన్నత ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి, ప్రభావవంతమైనదని నిరూపించబడిన గణిత పద్ధతి లాప్లేస్ ట్రాన్స్ఫార్మ్ . ఈ పరివర్తన విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతున్నందున, అవి నిజంగా దేనికోసం ఉద్దేశించబడ్డాయి మరియు అవి ఎలా పని చేస్తాయో తెలుసుకోవడం ఉపయోగపడుతుంది.

లాప్లేస్ ట్రాన్స్ఫార్మ్ అంటే ఏమిటి?

గణితంలో, సమీకరణాన్ని సులభంగా నిర్వహించడానికి ఒక వేరియబుల్‌ను ఒక రూపం నుండి మరొక రూపానికి మార్చడానికి పరివర్తనాలు వర్తించబడతాయి. లాప్లేస్ చాలా చక్కని రూపాంతరం చెందుతుంది. అవి అధిక ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణాన్ని బహుపది రూపంగా మారుస్తాయి, ఇది అవకలన సమీకరణాన్ని నేరుగా పరిష్కరించడం కంటే చాలా సులభం.

ఫోరియర్ ట్రాన్స్ఫార్మ్ వంటి వివిధ పరివర్తన ఉంది, లాప్లేస్ ప్రత్యేకమైన రూపాంతరం చెందడానికి z పరివర్తన చెందుతుంది? లాప్లేస్ పరివర్తన యొక్క ప్రధాన ప్రయోజనం ఏమిటంటే, అవి స్థిరమైన మరియు అస్థిర వ్యవస్థల కోసం నిర్వచించబడతాయి, అయితే ఫోరియర్ పరివర్తనాలు స్థిరమైన వ్యవస్థలకు మాత్రమే నిర్వచించబడతాయి.

లాప్లేస్ ట్రాన్స్ఫార్మ్ ఫార్ములా

టైమ్ డొమైన్‌లో ఫంక్షన్ f (t) యొక్క లాప్లేస్ పరివర్తన, ఇక్కడ t అనేది సున్నా కంటే ఎక్కువ లేదా సమానమైన వాస్తవ సంఖ్య, F (లు) గా ఇవ్వబడుతుంది, అక్కడ s అనేది ఫ్రీక్వెన్సీ డొమైన్‌లోని సంక్లిష్ట సంఖ్య .i.e. s = σ + jω
పై సమీకరణం ఇలా పరిగణించబడుతుంది ఏకపక్ష లాప్లేస్ పరివర్తన సమీకరణం . పరిమితులు మొత్తం వాస్తవ అక్షానికి విస్తరించినప్పుడు ద్వైపాక్షిక లాప్లేస్ పరివర్తన అని నిర్వచించవచ్చు
వంటి ప్రాక్టికల్ సర్క్యూట్లలో RC మరియు RL సర్క్యూట్లు సాధారణంగా, ప్రారంభ పరిస్థితులు ఉపయోగించబడతాయి, విశ్లేషణ ప్రయోజనం కోసం ఏకపక్ష లాప్లేస్ పరివర్తనాలు వర్తించబడతాయి.
S = σ + jω వలె, σ = 0 లాప్లేస్ పరివర్తనాలు ఫోరియర్ పరివర్తన వలె ప్రవర్తిస్తాయి.

లాప్లేస్ ట్రాన్స్ఫార్మ్ సూత్రాలు

లాప్లేస్ ట్రాన్స్ఫార్మ్ యొక్క అనువర్తనానికి షరతులు

లాప్లేస్ పరివర్తనాలను సమగ్ర పరివర్తనాలు అంటారు కాబట్టి ఈ పరివర్తనాల కలయికకు అవసరమైన పరిస్థితులు ఉన్నాయి.
అనగా f విరామం [0, ∞) కోసం స్థానికంగా ఏకీకృతం కావాలి మరియు positive సానుకూలంగా లేదా ప్రతికూలంగా ఉందా అనే దానిపై ఆధారపడి, ఇ ^ (-) t) క్షీణిస్తూ లేదా పెరుగుతూ ఉండవచ్చు. ఒక విలువ కంటే ద్వైపాక్షిక లాప్లేస్ పరివర్తన కోసం, రీజియన్ ఆఫ్ కన్వర్జెన్స్ అని పిలువబడే ఒక నిర్దిష్ట శ్రేణి విలువలతో సమగ్రంగా కలుస్తుంది.

లాప్లేస్ ట్రాన్స్ఫార్మ్ యొక్క లక్షణాలు:

లీనియారిటీ

లీనియారిటీ

సమయం బదిలీ

సమయం బదిలీ

S- డొమైన్‌లో మార్పు

S- డొమైన్‌లో మార్పు

సమయం-రివర్సల్

సమయం-రివర్సల్

S- డొమైన్‌లో భేదం

S- డొమైన్‌లో భేదం

సమయం లో కన్వల్యూషన్

సమయం లో కన్వల్యూషన్

ప్రారంభ విలువ సిద్ధాంతం

లాప్లేస్‌లో రూపాంతరం చెందుతున్నప్పుడు ప్రారంభ విలువ సిద్ధాంతం వర్తించబడుతుంది, హారం యొక్క డిగ్రీ హారం యొక్క డిగ్రీ కంటే తక్కువగా ఉంటుంది తుది విలువ సిద్ధాంతం:

SF (ల) యొక్క అన్ని ధ్రువాలు S- విమానం తుది విలువ సిద్ధాంతం యొక్క ఎడమ భాగంలో ఉంటే.

విలోమ లాప్లేస్ ట్రాన్స్ఫార్మ్

కన్వర్జెన్స్ లక్షణం కారణంగా లాప్లేస్ పరివర్తన కూడా విలోమ పరివర్తన కలిగి ఉంటుంది. లాప్లేస్ ట్రాన్స్ఫార్మ్స్ ఒక ఫంక్షన్ స్థలం నుండి మరొకదానికి మ్యాపింగ్ ప్రదర్శిస్తుంది. విలోమ లాప్లేస్ పరివర్తన యొక్క సూత్రం

లాప్లేస్ ట్రాన్స్ఫార్మ్ను ఎలా లెక్కించాలి?

లాప్లేస్ పరివర్తన సమీకరణాలను నిర్వహించడానికి సరళంగా చేస్తుంది. అధిక ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణం ఇచ్చినప్పుడు, లాప్లేస్ పరివర్తన దానికి వర్తించబడుతుంది, ఇది సమీకరణాన్ని బీజగణిత సమీకరణంగా మారుస్తుంది, తద్వారా దీన్ని నిర్వహించడం సులభం అవుతుంది. అప్పుడు మేము ఈ బీజగణిత సమీకరణాన్ని సరళీకృతం చేయడం ద్వారా మూలాలను లెక్కిస్తాము. ఇప్పుడు సరళమైన వ్యక్తీకరణ యొక్క విలోమ లాప్లేస్ పరివర్తన కనుగొనబడింది, ఇది ఇచ్చిన అధిక ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తుంది.

లాప్లేస్ ట్రాన్స్ఫార్మ్ లెక్కింపు

లాప్లేస్ ట్రాన్స్ఫార్మ్ యొక్క అనువర్తనాలు

• విద్యుత్ యొక్క విశ్లేషణ మరియు ఎలక్ట్రానిక్ సర్క్యూట్లు .
• సంక్లిష్ట అవకలన సమీకరణాలను సరళమైన బహుపది రూపాల్లోకి విడగొట్టడం.
• లాప్లేస్ ట్రాన్స్ఫార్మ్ స్థిరమైన మరియు అస్థిర రాష్ట్రాల గురించి సమాచారాన్ని ఇస్తుంది.
• యంత్ర అభ్యాసంలో, డేటా మైనింగ్‌లో అంచనాలను రూపొందించడానికి మరియు విశ్లేషణ చేయడానికి లాప్లేస్ పరివర్తన ఉపయోగించబడుతుంది.
• లాప్లేస్ ట్రాన్స్ఫార్మ్ సిస్టమ్ మోడలింగ్లో లెక్కలను సులభతరం చేస్తుంది.

సిగ్నల్ ప్రాసెసింగ్‌లో లాప్లేస్ ట్రాన్స్ఫార్మ్ యొక్క అప్లికేషన్

సిగ్నల్ ప్రాసెసింగ్ కోసం లాప్లేస్ ట్రాన్స్ఫార్మ్స్ తరచుగా ఎంపిక చేయబడతాయి. ఫోరియర్ పరివర్తనతో పాటు, ది లాప్లేస్ పరివర్తన ఫ్రీక్వెన్సీ డొమైన్‌లో సంకేతాలను అధ్యయనం చేయడానికి ఉపయోగిస్తారు. ఫ్రీక్వెన్సీ డొమైన్‌లో సిగ్నల్‌లో చిన్న పౌన encies పున్యాలు ఉన్నప్పుడు టైమ్ డొమైన్‌లో సిగ్నల్ సున్నితంగా ఉంటుందని ఆశించవచ్చు. సిగ్నల్ యొక్క వడపోత సాధారణంగా ఫ్రీక్వెన్సీ డొమైన్‌లో జరుగుతుంది, దీని కోసం టైమ్ డొమైన్ నుండి ఫ్రీక్వెన్సీ డొమైన్‌కు సిగ్నల్‌ను మార్చడానికి లాప్లేస్ ఒక ముఖ్యమైన సాధనంగా పనిచేస్తుంది.

కంట్రోల్ సిస్టమ్స్లో లాప్లేస్ ట్రాన్స్ఫార్మ్ యొక్క అప్లికేషన్

నియంత్రణ వ్యవస్థలు సాధారణంగా ఇతర పరికరాల ప్రవర్తనను నియంత్రించడానికి రూపొందించబడ్డాయి. యొక్క ఉదాహరణ నియంత్రణ వ్యవస్థలు సాధారణ గృహ తాపన నియంత్రిక నుండి పారిశ్రామిక నియంత్రణ వ్యవస్థ వరకు యంత్రాల ప్రవర్తనను నియంత్రిస్తుంది.

సాధారణంగా, కంట్రోల్ ఇంజనీర్లు వివిధ క్లోజ్డ్ లూప్ ఫంక్షనల్ బ్లాకుల ప్రవర్తనను వివరించడానికి అవకలన సమీకరణాలను ఉపయోగిస్తారు. కీలకమైన వేరియబుల్ సమాచారం కోల్పోకుండా ఈ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి లాప్లేస్ పరివర్తన ఇక్కడ ఉపయోగించబడుతుంది.

లాప్లేస్ ట్రాన్స్ఫార్మ్ ఉపయోగించి లీనియర్ టైమ్-ఇన్విరియంట్ సిస్టమ్స్ యొక్క లక్షణం

సిస్టమ్‌తో అనుబంధించబడిన సాధారణం సిస్టమ్ ROC కోసం, ఫంక్షన్ కుడి సగం విమానం. T> 0 కోసం దాని ప్రేరణ ప్రతిస్పందన h (t) = 0 అయితే వ్యవస్థ యాంటీ-క్యాజువల్.

సిస్టమ్ ఫంక్షన్ల యొక్క ROC H (లు) jω అక్షాన్ని కలిగి ఉంటే L.T.I. వ్యవస్థను స్థిరమైన వ్యవస్థ అంటారు. హేతుబద్ధమైన వ్యవస్థ ఫంక్షన్లతో కూడిన సాధారణం వ్యవస్థ H (లు) దాని ధ్రువాలన్నింటికీ ప్రతికూల వాస్తవ భాగాలను కలిగి ఉంటే, అప్పుడు వ్యవస్థ స్థిరంగా ఉంటుంది.

అందువల్ల సర్క్యూట్లను విశ్లేషించడంలో లాప్లేస్ పరివర్తన కీలకమైన సాధనం. స్టెతస్కోప్ వైద్యుడికి లాప్లేస్ ట్రాన్స్ఫార్మ్స్ ఇంజనీర్ను నియంత్రించడం అని మేము చెప్పగలం. లాప్లేస్ రూపాంతరం చెందడాన్ని మీరు ఏమని భావిస్తారు? అవి మీకు ఏ విధంగా సహాయపడ్డాయి?